Question

f（n）=1+

1

2

+…+

1

n

，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n），請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是，第一步驗(yàn)證第一項(xiàng)是否成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)候結(jié)論成立，去驗(yàn)證n=k+1時(shí)候結(jié)論是否成立．若都成立即得證．

解答： 證明：1°、當(dāng)n=2時(shí)，等式左邊=2+f（1）=2+1=3
等式右邊=2f（2）=2（1+

1

2

）=3，∴原式成立；…（4分）
2°、假設(shè)n=k（k≥2）成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）…（6分）
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
等式左邊=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+f（k）+1…（10分）
=（k+1）f（k）+1=（k+1）[f（k）+

1

k+1

=（k+1）f（k+1）
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立．…（12分）
綜上1°，2°可得當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=nf（n）均成立…（14分）

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法的基本形式：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）；2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．