Question

13．若函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，（x≥0）}\\{{x}^{2}+mx-1，（x＜0）}\end{array}\right.$是偶函數．
（1）求實數m的值；
（2）作出函數y=f（x）的圖象，并寫出其單調區(qū)間；
（3）若函數y=f（x）-k有4個零點，試求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用函數的奇偶性可得f（-1）=f（1），由此求得m的值．
（2）作出函數y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$ 的圖象，數形結合可得函數的單調區(qū)間．
（3）由題意可得函數f（x）的圖象和直線y=k有4個交點，結合f（x）的圖象，求得k的范圍．

解答 解：（1）根據 函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，（x≥0）}\\{{x}^{2}+mx-1，（x＜0）}\end{array}\right.$是偶函數，
可得f（-1）=f（1），1-m-1=1-2-1，求得m=2．
（2）作出函數y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x-1，x≥0}\\{{x}^{2}+2x-1，x＜0}\end{array}\right.$ 的圖象，如圖所示：
數形結合可得函數的增區(qū)間為[-1，0）、[1，+∞）；
減區(qū)間為（-∞，-1）、[0，1）．
（3）若函數y=f（x）-k有4個零點，則函數f（x）的圖象和直線y=k有4個交點，
故-2＜k＜-1．

點評 本題主要考查函數的圖象，函數的奇偶性和單調性，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題．