【題目】已知函數(shù),,其中,().
(1)若函數(shù)有極值,求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),求的取值范圍;
(3)證明:.
【答案】(1)(2)(3)見解析
【解析】
試題分析:(1)先對函數(shù)求導,再對的取值范圍討論來判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,進而可得函數(shù)在上的極值,利用函數(shù)有極值1,即可得的值;(2)由已知得:在上恒成立,進而可得在上恒成立,設,對函數(shù)求導,再判斷函數(shù)在上的單調(diào)性,進而可得函數(shù)在上的取值范圍,即可得的取值范圍;(3)由(2)可得,進而可得,代入,化簡,即可證.
試題解析:(1)解:∵,
∴1分
①若,則對任意的都有,即函數(shù)在上單調(diào)遞減
函數(shù)在上無極值 2分
②若,由得
當時,當時,
即函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增
∴函數(shù)在處有極小值
∴
∴4分
(2)解法1:∵函數(shù)=在區(qū)間上為減函數(shù)且當時,
∴在上恒成立在上恒成立 5分
設,則7分
當時,,
所以在上恒成立,即函數(shù)在上單調(diào)遞減 8分
∴當時,
∴9分
[解法2:∵函數(shù)=在區(qū)間上為減函數(shù)
∴對,()恒成立 5分
∵
∴
當時,()式顯然成立 6分
當時,()式 在上恒成立
設,易知在上單調(diào)遞增 7分
∴
∴ 8分
綜上得9分]
(3)證法1:由(2)知,當時,
10分
∵對任意的有
∴
∴12分
∴
即14分
[證法2:先證明當時,
令,則對任意的恒成立 10分
∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減
∴當時,
11分
∵對任意的,
而12分
∴
14分]
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,點也為拋物線的焦點.(1)若為橢圓上兩點,且線段的中點為,求直線的斜率;
(2)若過橢圓的右焦點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于和,設線段的長分別為,證明是定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將圓上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線.
(1)寫出的參數(shù)方程;
(2)設直線與的交點為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段的中點與垂直的直線的極坐標方程.
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【題目】已知函數(shù)定義在上的奇函數(shù),且,對任意、,時,有成立.
(1)解不等式;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知橢圓()與拋物線()共交點,拋物線上的點到軸的距離等于,且橢圓與拋物線的交點滿足.
(1)求拋物線的方程和橢圓的方程;
(2)國拋物線上的點做拋物線的切線交橢圓于兩點,設線段的中點為,求的取值范圍.
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【題目】某公司計劃在迎春節(jié)聯(lián)歡會中設一項抽獎活動:在一個不透明的口袋中裝入外形一樣號
碼分別為1,2,3,…,10的十個小球;顒诱咭淮螐闹忻鋈齻小球,三球號碼有且僅有兩個連號的為三等獎,獎金30元;三球號碼都連號為二等獎,獎金60元;三球號碼分別為1,5,10為一等獎,獎金240元;其余情況無獎金。
(1)求員工甲抽獎一次所得獎金ξ的分布列與期望;
(2)員工乙幸運地先后獲得四次抽獎機會,他得獎次數(shù)的方差是多少?
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【題目】設f(x)=|lnx|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,4)上有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. (0,)B. (,e)C. (,)D. (0,)
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【題目】給出如下四個命題:①若“且”為假命題,則均為假命題;②命題“若,則”的否命題為“若,則”; ③“,則”的否定是“,則”;④在中,“”是“”的充要條件.其中正確的命題的個數(shù)是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【題目】為迎接中國共產(chǎn)黨的十九大的到來,某校舉辦了“祖國,你好”的詩歌朗誦比賽.該校高三年級準備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學生中選派4名學生參加,要求甲、乙、丙這3名同學中至少有1人參加,且當這3名同學都參加時,甲和乙的朗誦順序不能相鄰,那么選派的4名學生不同的朗誦順序的種數(shù)為( )
A. 720 B. 768 C. 810 D. 816
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