Question

單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是BC，CD中點(diǎn)，平面A₁EF交BB₁于M，交DD₁于N
（1）畫(huà)出幾何體A₁MEFN-ABEFD的直觀圖與三視圖；
（2）設(shè)AC中點(diǎn)為O，在CC₁上尋找一點(diǎn)G，使OG⊥平面A₁EF，求CG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）幾何體A₁MEFN-ABEFD的直觀圖與三視圖如圖（1、2）．
（2）設(shè)AC交EF于S，若OG⊥平面A₁EF，則OG⊥A₁S，根據(jù)

GC

OC

=tan∠GOC=

1

tan∠A1SA

=

AS

AA1

，可得CG=

OC×AS

AA1

，
運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）直觀圖與三視圖如圖（1、2）

           圖 1                              圖 2  
 
        圖三
（2）設(shè)AC交EF于S，若OG⊥平面A₁EF，則OG⊥A₁S，如圖3，
∵

GC

OC

=tan∠GOC=

1

tan∠A1SA

=

AS

AA1

，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，∴CG=

OC×AS

AA1

=

2 2 × 3 2 4

1

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)單空間幾何體的三視圖，直線與平面垂直的判定，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一道中檔題．