已知單位正方體ABCD-A1B1C1D1,E分別是棱C1D1的中點,試求:
(1)AE與平面BB1C1C所成的角的正弦值;
(2)二面角C1-DB-A的余弦值.
分析:以D為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示:
(1)設正方體棱長為2.則E(0,1,2),A(2,0,0).可得
AE
,平面
BCC1B1
的法向量為
n
=(0,1,0)
.設AE與平面BCC1B1所成的角為θ.sinθ=|cos<
AE
n
>|
=
|
AE
n
|
|
AE
| |
n
|

(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),可得
DA
,
DB
,
DC1
,設平面
DBC1
的法向量為
n1
=(x,y,z),則
n1
DB
=x+y=0
n1
DC1
=y+z=0
,即可得到
n1
,取平面ADB的法向量為
n2
=(0,0,1)
.設二面角C1-DB-A的大小為α,從圖中可知:α為鈍角.可得cos<
n1
,
n2
,進而得到cosα.
解答:解:以D為坐標原點建立空間直角坐標系,如圖所示:
(1)設正方體棱長為2.則E(0,1,2),A(2,0,0).
AE
=(-2,1,2)
,平面
BCC1B1
的法向量為
n
=(0,1,0)

設AE與平面BCC1B1所成的角為θ.sinθ=|cos<
AE
,
n
>|
=
|
AE
n
|
|
AE
| |
n
|
=
1
9
=
1
3

∴sinθ=
1
3

(2)A(1,0,0),B(1,1,0),C1(0,1,1),
DA
=(1,0,0)
,
DB
=(1,1,0)
,
DC1
=(0,1,1)

設平面
DBC1
的法向量為
n1
=(x,y,z),則
n1
DB
=x+y=0
n1
DC1
=y+z=0

令y=-1,則x=1,z=1.∴
n1
=(1,-1,1).取平面ADB的法向量為
n2
=(0,0,1)

設二面角C1-DB-A的大小為α,從圖中可知:α為鈍角.
cos<
n1
n2
=
n1
n2
|
n1
| |
n2
|
=
1
3
=
3
3
,
cosα=-
3
3
點評:熟練掌握通過建立空間直角坐標系,利用平面的法向量、數(shù)量積、向量夾角公式求出二面角、線面角等是解題的關鍵.
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