Question

單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別是BC，CD中點，平面A₁EF交BB₁于M，交DD₁于N
（1）畫出幾何體A₁MEFN-ABEFD的直觀圖與三視圖；
（2）設AC中點為O，在CC上存在一點G，使

CG

=λ

CC1

，且OG⊥平面A₁EF，求λ；
（3）求A₁C與平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據題目條件可畫出幾何體的直觀圖，以及根據三視圖的畫法畫出左視圖、正視圖、俯視圖即可；
（2）選擇A為坐標原點，AB，AD，AA所在直線為x，y，z軸，求出向量

OG

與

A1E

，然后根據

OG

⊥

A1E

建立等式，可求出λ的值．
（3）由（2）知平面A₁EF的一個法向量是

OG

，求出向量

A1C

，利用向量的夾角公式可求出A₁C與平面A₁EF所成角的正弦值．

解答：解：（1）幾何體的直觀圖如下左圖，三視圖如下右圖

（2）選擇A為坐標原點，AB，AD，AA₁所在直線為x，y，z軸，則E（1，0.5，0），F（0.5，1，0），A₁（0，0，1），G（1，1，λ），O（0.5，0.5，0），
∴

OG

=（0.5，0.5，λ），

A1E

=（1，0.5，-1），
∵OG⊥平面A₁EF，A₁E?平面A₁EF
∴

OG

⊥

A1E

∴0.5+0.25-λ=0，解得λ=0.75
（3）由（2）知，平面A₁EF的一個法向量是

OG

=（0.5，0.5，0.75），

A1C

=（1，1，-1）
A₁C與平面A₁EF所成角的正弦值為sinθ=

OG . A1C

| OG || A1C |

=

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點評：本題主要考查了直線與平面所成的角，以及空間幾何體的直觀圖和三視圖，利用空間向量法求解所成角是常用的方法，屬于中檔題．