Question

【題目】已知

（1）求函數(shù)在的極值.

（2）證明：在有且僅有一個零點.

Answer 1

【答案】（1），無極小值；（2）見解析

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，并求出該函數(shù)的極值點，分析函數(shù)在極值點左右兩邊的單調(diào)性，確定極值的屬性，然后將極值點代入函數(shù)的解析式可得出答案；

（2）首先考查，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，并確定和的正負(fù)，結(jié)合零點存在定理來得出函數(shù)的零點個數(shù)；

其次考查，利用放縮法得出可知函數(shù)在該區(qū)間上不存在零點。

結(jié)合上述兩個步驟證明結(jié)論。

（1），

令，得，又，故.

令，得；令，得。

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故；無極小值.

（2）當(dāng)時，，，于是，

此時，函數(shù)單調(diào)遞減，

，

，

由函數(shù)零點存在性定理知，函數(shù)在上有且只有一個零點。

當(dāng)上，。

綜上所述，函數(shù)有且只有個零點。