Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+4x+b（a＜0，且a，b∈R）．設(shè)關(guān)于x的不等式f（x）＞0的解集為（x₁，x₂），且方程f（x）=x的兩實(shí)根為α，β．
（1）若|α-β|=1，求a，b的關(guān)系式；
（2）若α＜1＜β＜2，求證：（x₁+1）（x₂+1）＜7．

Answer 1

【答案】分析：（1）要求a，b的關(guān)系式，可根據(jù)方程f（x）=x的兩實(shí)根為α，β．結(jié)合韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），用a，b表示α，β．又則|α-β|=1，給出a，b的關(guān)系，但在分析過(guò)程中，要注意方程有兩個(gè)不相等的根時(shí)，方程的判別式大于零．
（2）由α＜1＜β＜2，我們可以根據(jù)零點(diǎn)的存在定理，我們可以得到f（1），f（2）異號(hào)，代入可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于a，b的不等式組，畫(huà)出他們表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃不難得到結(jié)論．
解答：解：（1）由f（x）=x，
得ax²+3x+b=0，
由已知得9-4ab＞0，
∴
∴，
∴．
∴a²+4ab=9，
∴a、b的關(guān)系式為a²+4ab=9．
（2）令g（x）=ax²+3x+b，
又a＜0，α＜1＜β＜2．
∴，
即
又x₁，x₂是方程ax²+4x+b=0的兩根，
∴．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=
由線性約束條件，畫(huà)圖可知．
的取值范圍為（-4，6），
∴．
∴（x₁+1）（x₂+1）＜7．
點(diǎn)評(píng)：用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類(lèi)、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．