Question

如圖，直線PA與圓O相切于點A，PBC是過點O的割線，∠APE=∠CPE，點H是線段ED的中點．
（1）證明：A，E，F(xiàn)，D四點共圓；
（2）證明：PF²=PB•PC．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：推理和證明

分析：（1）連接EF，證明EF∥AB，再證明∠AFE=∠ADE，即可證明A，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（2）由AF平分∠CAB，得∠CAF=∠BAF，由弦切角定理得∠PAB=∠ACB，從而∠PFA=∠PAF，由此能證明PF²=PA²=PB•PC．

解答： 證明：（1）連接EF，則
∵直線PA與圓O相切于點A，PBC是過點O的割線，∠APC的角平分線交AC于點E，
∴∠PAB=∠PCA，∠APE=∠CPE，
∴∠ADP=∠PEC，△PAC∽△PBA，
∴∠AED=∠ADE，

AC

AB

=

PC

PA

，
∵點H是線段ED的中點，∴AF平分∠CAB，∴

CF

FB

=

AC

AB

，
∵∠APC的角平分線交AC于點E，

CE

EA

=

PC

PA

，∴

CE

EA

=

CF

FB

，
∴EF∥AB，∵AB⊥AC，∴EF⊥AC，∴∠AEH=∠AFE，
∴∠AFE=∠ADE，∴A，E，F(xiàn)，D四點共圓．
（2）∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF，
∵AP是切線，∴∠PAB=∠ACB，
∴∠PFA=∠PAF，∴PA=PF，
∴PF²=PA²=PB•PC．

點評：本小題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、四點共圓的證明方法、三角形相似、弦切角定理、切割線定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．