Question

已知函數(shù)f（x）=

-x2+kx，x≤2 k2x-21k+59，x＞2

，若存在x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則實數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點,分段函數(shù)的應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：依題意，在定義域內(nèi)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)．分情況討論，能求出k的取值范圍．

解答： 解：依題意，在定義域內(nèi)，f（x）不是單調(diào)函數(shù)．
分情況討論：
①x≤2時，f（x）=-x²+kx不是單調(diào)函數(shù)，對稱軸為x=

k

2

，
則

k

2

＜2，∴k＜4；
②x≤2時，若f（x）是單調(diào)函數(shù)，此時k≥4，
此時f（x）_max=f（2）=2k-4．
此時，當x＞2時 f（x）=k²x-21k+59為單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=2k²-21k+59，
∴2k²-21k+59＜2k-4，
解得

9

2

＜k＜7．
綜合得：k的取值范圍是（-∞，4）∪（

9

2

，7）．
故答案為：（-∞，4）∪（

9

2

，7）．

點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．