Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4ax，當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，對(duì)x₁＜x₂＜1恒有|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意把|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|化為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-2，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＜1時(shí)f′（x）＜-2，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則可轉(zhuǎn)化為a＞

1

2

(x+1)對(duì)x＜1恒成立，則a的范圍可求．

解答： 解：由|f（x₁）-f（x₂）|＞2|x₁-x₂|，得
|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞2，
∵函數(shù)f（x）=x²-4ax的對(duì)稱軸方程為x=2a，
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，2a＞1，
則對(duì)x₁＜x₂＜1時(shí)，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0，
則|

f(x1)-f(x2)

x1-x2

|＞2化為

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜-2，
問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＜-2恒成立，
∵f（x）=x²-4ax，
∴f′（x）=2x-4a，
即2x-4a＜-2對(duì)x＜1恒成立，即a＞

1

2

(x+1)對(duì)x＜1恒成立，
∵

1

2

(x+1)＜1，
∴a≥1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1．
故答案為：a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解與運(yùn)用，是中檔題．