Question

已知m∈N₊，函數(shù)f（x）=（2m-m²）x^2m2+3m-2在（0，+∞）上是增函數(shù)，若g（x）=p[f（x）] 

4

3

+（4p-3）[f（x）] 

2

3

，問是否存在p（p＞0）使g（x）在[0，2]上是減函數(shù)，且在[2，+∞]上是增函數(shù)？

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得

2m-m2＞0 2m2+3m-2＞0

，或

2m-m2＜0 2m2+3m-2＜0

，再結(jié)合m∈N₊，解①求得m=1，可得f（x）=x³．結(jié)合g（x）=p•x⁴+（4p-3）x² 的單調(diào)性可得-

4p-3

2p

=4，求得p=

1

4

，從而得出結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=（2m-m²）x^2m2+3m-2在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴

2m-m2＞0 2m2+3m-2＞0

 ①，或

2m-m2＜0 2m2+3m-2＜0

②．
再結(jié)合m∈N₊，解①求得m=1，解②求得m∈∅．
綜上可得，m=1，f（x）=x³．
∵g（x）=p[f（x）] 

4

3

+（4p-3）[f（x）] 

2

3

=p•x⁴+（4p-3）x² 在[0，2]上是減函數(shù)，
且在[2，+∞]上是增函數(shù)，
則有-

4p-3

2p

=4，求得p=

1

4

，
故存在p=

1

4

滿足題中條件．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．