Question

如圖：直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，AD=2AE=2AB=4FC=4，將四邊形EFCD沿EF折起成如圖的位置，使AD=AE．
（Ⅰ）求證：BC∥平面DAE；
（Ⅱ）求四棱錐D-AEFB的體積；
（Ⅲ）求面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（I）因為CF∥DE，F(xiàn)B∥AE，BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE，滿足面面平行的判定定理，從而面CBF∥面DAE，而BC?面CBF，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知BC∥平面DAE；
（II）取AE的中點H，連接DH，先證DH⊥面AEFB，從而得到DH為四棱錐的高，再利用錐體的體積公式求出體積即可；
（III）以AE中點為原點，AE為x軸建立空間直角坐標系，根據(jù)

CF

=

1

2

DE

，求出點C的坐標，而

BA

是平面ADE的一個法向量，然后再求出平面BCD的一個法向，最后利用公式求解，即可求出面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值．

解答： （I）證明：∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E，F(xiàn)分別為邊AD和BC上的點，且EF∥AB，
∴CF∥DE，F(xiàn)B∥AE
又∵BF∩CF=F，AE∩DE=E，CF、FB?面CBF，DE、AE?面DAE
∴面CBF∥面DAE…（2分）
又BC?面CBF，所以BC∥平面DAE…（3分）
（II）解：取AE的中點H，連接DH
∵EF⊥ED，EF⊥EA，ED∩EA=E
∴EF⊥平面DAE又DH?平面DAE，
∴EF⊥DH
∴AE=ED=DA=2，
∴DH⊥AE，DH=

3

，
又AE∩EF=E
∴DH⊥面AEFB…（5分）
所以四棱錐D-AEFB的體積V=

1

3

×

3

×2×2=

4 3

3

…（6分）
（III）如圖以AE中點為原點，AE為x軸建立空間直角坐標系
則A（-1，0，0），D（0，0，

3

），B（-1，-2，0），E（1，0，0），F(xiàn)（1，-2，0）
因為

CF

=

1

2

DE

，所以C（

1

2

，-2，

3

2

）…（8分）
易知

BA

是平面ADE的一個法向量，

BA

=

n1

=（0，2，0）…（9分）
設平面BCD的一個法向量為

n2

=（x，y，z）
由

3 2 x+ 3 2 z=0 x+2y+ 3 z=0

令x=2，則y=2，z=-2

3

，∴

n2

=（2，2，-2

3

），…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

5

5

所以面CBD與面DAE所成銳二面角的余弦值為

5

5

…（12分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及四棱錐體積的計算和利用空間向量度量二面角的平面角，同時考查了計算能力，屬于中檔題．