(1)求證:;?
(2)求四面體ABCD的體積;?
(3)若a=5,b=4,c=6,求α的正弦值;?
(4)求AD與平面BCD所成的角〔條件同(3)〕;?
(5)條件同(3),求四面體的外接球半徑.
(1)證明:作CE⊥AD交AD于E.?
作CH⊥面ABD交ABD于H.?
連結(jié)EH,記CH長為h,CE為ha.?
∵CH⊥面ABD,CE⊥AD,?
∴HE⊥AD,sinα=.?
又a·ha·=S,?
∴.?
為常量.同理,.?
∴.?
(2)解析:過點(diǎn)C作GF∥DB.C為GF中點(diǎn),連結(jié)GD并延長至E.DE=DG.連結(jié)EF、AE、AG、AF.
∵AC=GF,∴AG⊥AF.?
同理可得EA⊥FA,AE⊥AG.?
設(shè)AE=x,AF=z,AG=y.?
解得
∴VE—AGF?=xyz,?
VA—DBC?=VE—AGF?,?
VABCD?=.?
(3)解析:V=?
=×5×3×3=.?
cosθ=.?
∴S=sinθab=××5×4=.?
∴d=.∴sinα=.?
(4)解析:設(shè)所成角為γ.?
sinγ=.?
(5)解析:把四面體ABCD補(bǔ)成長方體,設(shè)其邊長為x、y、z,則有?
x2+y2=a2, ①?
y2+z2=b2, ②?
z2+x2=c2. ③?
(①+②+③),得(2R)2=a2+b2+c2.?
∴R=.
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