Question

如圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點，O是點A在平面BCD內(nèi)的射影．
（Ⅰ）求直線EF與直線BC所成角的大��；
（Ⅱ）求點O到平面ACD的距離；
（Ⅲ）求二面角E-BE-F的大�。�

Answer 1

分析：（I）因為E、F分別是棱AD、CD的中點所以EF∥AC，然后利用三角形解出異面直線所成的角的大��；
（II）因為△ACD，△BCD均為正三角形且點F為中點，所以CD⊥面AFB，利用面面垂直得到面AFB⊥面ACD，因為ABCD是正四面體，且O是點A在面BCD內(nèi)的射影，所以點O必在正三角形BCD的中線BF，上過O做OG⊥AF，利用△AOF∽△OGF，求出點O到平面ACD的距離OG；
（III）利用條件作出EK∥AO，利用已知的線面垂直得到作出的直線垂直與平面BCD，利用二面角的平面角的定義，在三角形中求出二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）因為E、F分別是棱AD、CD的中點，
所以EF∥AC．
所以∠BCA是EF與BC所成角．
∵正四面體ABCD，∴△ABC為正三角形，
所以∠BCA=60°．
即EF與BC所成角的大小是60°．
（II）如圖，連接AO，AF，
因為F是CD的中點，
且△ACD，△BCD均為正三角形，
所以BF⊥CD，AF⊥CD．
因為BF∩AF=F，
所以CD⊥面AFB．
因為CD?在ACD，
所以面AFB⊥面ACD．
因為ABCD是正四面體，且O是點A在面BCD內(nèi)的射影，
所以點O必在正三角形BCD的中線BF上，
在面ABF中，過O做OG⊥AF，垂足為G，
所以O(shè)G⊥在ACD．
即OG的長為點O到面ACD的距離．
因為正四面體ABCD的棱長為1，
在△ABF中，容易求出AF=BF=

3

2

，OF=

3

6

，AO=

6

3

，
因為利用相似比易求出OG=

6

9

．
所以點O到平面ACD的距離是

6

9

．
（Ⅲ）連接OD，設(shè)OD的中點為K，連EK，
則EK∥AO．
因為AO⊥面BCD，
所以EK⊥面BCD．
在平在BCD內(nèi)，過點K作KN∥CD，KN交BF
于M，交BC于N，
因為BF⊥CD，
所以KN⊥BF．
連接EM，
所以EM⊥BF．
所以∠NME是所求二面角的平面角．
因為EK=

1

2

CH=

1

2

•

6

3

=

6

6

，
MK=

1

2

ED=

1

4

AD=

1

4

，
所以tan∠EMK=

FK

MK

=

2 6

3

．
所以tan∠NME=tan(π-∠EMK)=-

2 6

3

．
所以所求二面角的大小為π-arctan

2 6

3

．

點評：此題重點考查了利用異面直線所成角的定義及中點作出平行線進而在三角形中求出異面直線所成的角的大小，還考查了特殊三角形利用中點得到線面垂直進而利用二面角平面角的定義求出二面角的大小，利用三角形相似求出點到面的距離，及利用反三角函數(shù)解出角的大�。�