Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）若f（x）在（

3

2

，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求m的取值范圍
（Ⅲ）已知函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，x₁，x₂且x₁＜x₂，若對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=

1

3

x³+x²+3x，通過(guò)求導(dǎo)得出斜率k的值，從而求出切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）只需f′（

3

2

）＞0即可，解不等式求出即可；
（Ⅲ）由題設(shè)可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，由判別式△＞0，求出m的范圍，對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f(1)=m2-

1

3

＜0，從而綜合得出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=

1

3

x³+x²+3x，
∴f′（x）=-x²+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9，
∴曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（3，f（3））處的切線(xiàn)方程為：y=9，
（Ⅱ）若f（x）在（

3

2

，+∞）上存在單調(diào)遞增區(qū)間，
即存在某個(gè)子區(qū)間（a，b）?（

3

2

，+∞）使得f′（x）＞0，
∴只需f′（

3

2

）＞0即可，
f′（x）=-x²+2x+m²-1，
由f′（

3

2

）＞0解得m＜-

1

2

或m＞

1

2

，
由于m＞0，∴m＞

1

2

．
（Ⅲ）由題設(shè)可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有兩個(gè)相異的實(shí)根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0
解得：m＜-

1

2

（舍去）或m＞

1

2

，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，∴x2＞

3

2

＞1，
若 x₁≤1＜x₂，
則f(1)=-

1

3

(1-x1)(1-x2)≥0，
而f（x₁）=0，不合題意．
若1＜x₁＜x₂，對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，
有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，
又f（x₁）=0，所以 f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對(duì)任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f(1)=m2-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

；     
綜上，m的取值范圍是(

1

2

，

3

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求切線(xiàn)的方程，解不等式，本題是一道綜合題．