Question

是否存在常數(shù)a、b，使等式：1²+2²+3²+…+n²=an（n+b）（2n+1）對(duì)一切正整數(shù)n成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先令n=1，n=2，構(gòu)造三個(gè)方程求出a，b，再用用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，證明時(shí)先證：（1）當(dāng)n=1時(shí)成立．（2）再假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，成立，遞推到n=k+1時(shí)，成立即可．

解答： 解：分別將n=1，2代人，得

1=3a(1+b) 5=10a(2+b)

，
∴a=

1

6

，b=1…（2分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
（1）當(dāng)n=1時(shí)，由上可知等式成立…（3分）
（2）假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
那么n=k+1時(shí)，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+（k+1）²
=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

=

(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]

6

，
這就是說(shuō)，n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立…（11分）
由（1）（2）可知，存在常數(shù)a=

1

6

，b=1使等式：1²+2²+3²+…+n²=an（n+b）（2n+1）對(duì)一切正整數(shù)n成立…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查研究存在性問(wèn)題和數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)存在性問(wèn)題先假設(shè)存在，再證明是否符合條件，數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵是遞推環(huán)節(jié)，要符合假設(shè)的模型才能成立．