Question

【題目】直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．

（1）求與滿足的關(guān)系；

（2）求證：點(diǎn)到直線的距離是定值，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析，

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)A,B聯(lián)立直線方程和雙曲線方程消元化簡(jiǎn):

,然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量垂直即,可求得和滿足的關(guān)系;

(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式求出距離表達(dá)式再利用(1)的結(jié)論即可證明距離是定值;利用弦長(zhǎng)公式以及韋達(dá)定理表示出弦長(zhǎng)表達(dá)式,然后利用換元配方求解最小值.

（1）設(shè)點(diǎn)A,B,聯(lián)立消得,

∴,

由得

代入化簡(jiǎn)可得和滿足的關(guān)系為:;

（2）由點(diǎn)到直線的距離公式可得:,由(1)得

代入可解得為定值;

由直線與雙曲線交點(diǎn)弦弦長(zhǎng)公式可得:

,令(t≤3)

化簡(jiǎn)可得,

由t≤3可得當(dāng),t=3時(shí).