Question

a，b是異面直線，下面四個命題：
①過a至少有一個平面平行于b； 
②過a至少有一個平面垂直于b；
③至多有一條直線與a，b都垂直；
④至少有一個平面與a，b都平行．
其中正確命題的個數(shù)是

 

．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)a，b是異面直線，以及平面的確定，作出平面α，β，γ滿足①過a至少有一個平面平行于b；②必須在異面直線垂直的條件下才成立；③跟據(jù)線面垂直的判定定理，即可找到這樣的平面γ與a，b都平行，且平面γ的直線有無數(shù)條，故③不成立，④找到這樣的平面γ與a，b都平行，且這樣的平面有無數(shù)個．故④正確．

解答： 解：∵a，b是異面直線，
∴在直線a上任取一點p，過P和直線b確定一個平面α，在平面α內(nèi)過P做直線c∥b，
且a，c確定平面β，b∥β，故①正確；
②若過a至少有一個平面垂直于b，則b⊥a，而a與b不一定垂直，故②不正確；
③若直線l⊥β，則直線l⊥a，l⊥b，而直線l有無數(shù)條，故③不正確；
④過b上一點直線c∥a，則b，c確定一個平面γ，則所有與它平行且不過a的平面β都滿足與兩異面直線平行，故④正確．
故答案為：2．

點評：此題是個基礎(chǔ)題．考查異面直線的有關(guān)問題，而解決異面直線問題，一般采取平移的方法，體現(xiàn)了運動的思想和轉(zhuǎn)化的思想，同時也考查了平面的確定和線面平行的判定和性質(zhì)定理．