Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公比q＞0，前n項(xiàng)和為S_n
（1）當(dāng)a=1時(shí)，S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）甲：S_n，（S_n+1+1），S_n+2三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中n是一個(gè)正整數(shù)；
乙：S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中n是一個(gè)正整數(shù)；
求證：對于同一個(gè)正整數(shù)n，甲與乙不能同時(shí)為真．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用等比數(shù)列的公式化簡求解．
（2）：分q=1時(shí)，q≠1時(shí)兩種情況分類證明；q≠1時(shí)，化簡得甲乙兩個(gè)命題乙：即aqⁿ⁺¹（q+1）=4，甲：aqⁿ（q²-2q-1）=2（q-1），如果n是同一個(gè)整數(shù)則甲乙組成方程組必定有解，推出矛盾，即可判斷不可能同時(shí)成立．

解答： 解：∵等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a，公比q＞0，前n項(xiàng)和為S_n，
∴當(dāng)q=1時(shí)，S_n=na
當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=

a(1-qn)

1-q

（1）當(dāng)a=1時(shí)，
若q=1時(shí)，S₁+1=2，S₂+2=4，S₃+1=4，S₁+1，S₂+2，S₃+1三數(shù)不成等差數(shù)列，不符合題意
∴q≠1，q＞0
若q≠1時(shí)，S₁+1=2，S₂+2=3+q，S₃+1=2+q+q²，
∵S₁+1，S₂+2，S₃+1成等差數(shù)列，
∴2（3+q）=4+q+q²，
即q²-q-2=0，q=2，q=-1（舍去）
所以a_n=2^n-1
（2）證明：S_n=na，S_n+1+1=a（n+1）+1，S_n+2=a（n+2）
∵S_n，（S_n+1+1），S_n+2三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中n是一個(gè)正整數(shù)，
∴得出：2=0，不可能甲正確．
S_n+1=a（n+1），S_n+2+1=a（n+2）+1，S_n+3=a（n+3），
∵S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中n是一個(gè)正整數(shù)，
∴2a（n+2）+2=a（n+1）+a（n+3），即2=0，乙不可能正確
②當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=

a(1-qn)

1-q

，S_n+1+1=

a(1-qn+1)

1-q

+1，S_n+2=

a(1-qn+2)

1-q

，
∴得出甲：aqⁿ（q²-2q-1）=2（q-1），
S_n+1=

a(1-qn+1)

1-q

，2+S_n+2=

a(1-qn+2)

1-q

+2，S_n+3=

a(1-qn+3)

1-q

，
∵S_n+1，（S_n+2+1），S_n+3三數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其中n是一個(gè)正整數(shù)；
∴aqⁿ⁺¹（q²-2q+1）=4q-4，即aqⁿ⁺¹（q+1）=4，
乙：即aqⁿ⁺¹（q+1）=4，
甲：aqⁿ（q²-2q-1）=2（q-1），
如果n是同一個(gè)整數(shù)則甲乙組成方程組必定有解，
化簡即可得到：q³-2q²+3q+2=0，（q＞0）
令f（q）=q³-2q²+3q+2，（q＞0）
f′（q）=3q²-4q+3，（q＞0），
∵△=16-36＜0，
∴f′（q）=3q²-4q+3＞0，恒成立（q＞0），
即f（q）=q³-2q²+3q+2，（q＞0）單調(diào)遞增函數(shù)，
f（0）=2＞0，
所以可判斷：q³-2q²+3q+2=0，（q＞0）無解，出現(xiàn)矛盾．
由以上可以判斷：于同一個(gè)正整數(shù)n，甲與乙不能同時(shí)為真．

點(diǎn)評：本題綜合考察了數(shù)列的性質(zhì)，公式的運(yùn)用；需要的變換技巧比較大，化簡運(yùn)算復(fù)雜，做本題時(shí)，要有耐心，代數(shù)變換能力．屬于難題．