Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)Q（-1，0）作直線l與橢圓C相較于A，B兩點(diǎn)，直線m是過(guò)點(diǎn)(-

4

17

，0)且與y軸平行的直線，設(shè)N是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，滿足

ON

=

OA

+

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），問(wèn)是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，y=k（x+2）代入橢圓方程，根據(jù)根的判別式，x₁+x₂=-

4k2

4+k2

=-

4

17

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到上焦點(diǎn)的距離為2，
∴

c a = 3 2 a2=b2+c2=4

，∴a=2，b=1，
∴橢圓C的方程為

y2

4

+x2=1；
（2）由已知可得m：x=-

4

17

，
設(shè)N（-

4

17

，t），直線l：y=k（x+2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l：y=k（x+2）代入橢圓方程，可得（4+k²）x²+4k²x+4k²-4=0，
△＞0，可得-

2 2

3

＜k＜

2 2

3

，
x₁+x₂=-

4k2

4+k2

=-

4

17

，
∴k=±

1

2

，
此時(shí)

OA

•

OB

=0，
∴存在這樣的直線l：y=±

1

2

（x+2），使得四邊形OANB為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合運(yùn)用以及軌跡方程的應(yīng)用，通過(guò)對(duì)圓錐曲線知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生的能力，屬于中檔題．