【題目】已知數(shù)列,若對(duì)于任意數(shù)列滿足,則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.

(Ⅰ)已知數(shù)列:是“數(shù)列”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(Ⅱ)是否存在首項(xiàng)為的等差數(shù)列為“數(shù)列”,且前項(xiàng)和滿足,若存在,求出的通項(xiàng)公式,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”,數(shù)列不是“數(shù)列”,若數(shù)列,試判斷數(shù)列是否“數(shù)列”,并且說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)不存在;(Ⅲ)當(dāng)時(shí),數(shù)列為“數(shù)列”,當(dāng)時(shí),數(shù)列不是“數(shù)列”.

【解析】

(Ⅰ)利用“K數(shù)列”定義得到即得m的取值范圍. (Ⅱ)假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為,則,找到矛盾,得到不存在這樣的數(shù)列. (Ⅲ)由各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“數(shù)列”得到,再由數(shù)列不是“數(shù)列”得到即得,所以,,再分別判斷數(shù)列是否“數(shù)列”.

(I)根據(jù)題意得:

,

,

故實(shí)數(shù)的取值范圍是

(II)假設(shè)存在等差數(shù)列符合要求,設(shè)公差為,則,由,得,

根據(jù)題意得對(duì)均成立,

,

當(dāng)時(shí),

當(dāng)時(shí),,

因?yàn)?/span>,

所以,與矛盾,

故這樣的的等差數(shù)列不存在.

(III)設(shè)數(shù)列的公比為,則,

因?yàn)?/span>的每一項(xiàng)均為正整數(shù),且,

所以,

因?yàn)?/span>,

所以在中,“”為最小項(xiàng),

同理,在中,“”為最小項(xiàng),

為“數(shù)列”,只需,

即:

又因?yàn)?/span>不是“數(shù)列”且“”為最小項(xiàng),

所以,即:,

由數(shù)列的每一項(xiàng)均為正整數(shù),可得,

所以,,

當(dāng)時(shí),,則

,

所以為遞增數(shù)列,即:

所以,

因?yàn)?/span>,所以對(duì)任意的,都有,

即數(shù)列為“數(shù)列”.

當(dāng),時(shí),,則

因?yàn)?/span>,

所數(shù)數(shù)列不是“數(shù)列”,

綜上所述,當(dāng)時(shí),數(shù)列為“數(shù)列”,

當(dāng)時(shí),數(shù)列不是“數(shù)列”.

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甲:9,10,11,12,10,20

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(1)在給出的方框內(nèi)繪出所抽取的甲、乙兩種麥苗株高的莖葉圖;

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