Question

已知?jiǎng)訄AM過(guò)定點(diǎn)F（0，-），且與直線y=相切，橢圓N的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A（1，）在橢圓N上．
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡Γ的方程及橢圓N的方程；
（2）若動(dòng)直線l與軌跡Γ在x=-4處的切線平行，且直線l與橢圓N交于B，C兩點(diǎn)，試求當(dāng)△ABC面積取到最大值時(shí)直線l的方程．

Answer 1

解：（1）過(guò)圓心M作直線y=的垂線，垂足為H．
由題意得，|MH|=|MF|，由拋物線定義得，點(diǎn)M的軌跡是以F（0，-）為焦點(diǎn)，直線y=為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為．
設(shè)橢圓方程為，將點(diǎn)A代入方程
整理得a⁴-5a²+4=0，解得a²=4或a²=1（舍去）
故所求的橢圓方程為；
（2）軌跡Γ的方程為，即，則，所以軌跡軌跡Γ在x=-4處的切線斜率為k=，
設(shè)直線l方程為y=x+m，代入橢圓方程整理得4x²+2mx+m²-4=0
因?yàn)椤?8m²-16（m2-4）＞0，解得-2＜m＜2；
設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則x₁+x₂=-，x₁x₂=
所以BC|=×=×
∵點(diǎn)A到直線的距離為d=，所以S_△ABC=×××=≤
當(dāng)且僅當(dāng)，即m=±2時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線l的方程為y=x±2．
分析：（1）由拋物線定義得，點(diǎn)M的軌跡是以F（0，-）為焦點(diǎn)，直線y=為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得軌跡Γ的方程；設(shè)出橢圓方程，利用點(diǎn)A（1，）在橢圓N上，可得橢圓N的方程；
（2）設(shè)出切線方程，代入橢圓方程，求得|BC|，點(diǎn)A到直線的距離，表示出面積，利用基本不等式，即可求得△ABC面積取到最大值時(shí)直線l的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．