Question

【題目】已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0時(shí)，f（x）＞0．
（1）求證：函f（x）是奇函數(shù)；
（2）求證：函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)；
（3）若定義在（﹣2，2）上的函數(shù)f（x）滿足f（﹣m）+f（1﹣m）＜0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）

∴令x=y=0 有f （0 ）=0

令y=﹣x 有：0=f（0）=f（x+（﹣x））=f（x）+f（﹣x）

∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)

（2）證明：設(shè)x2＞x1則x1﹣x2＜0

∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0

∴f（x1﹣x2）＞0

∴f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）＞f（x2）

∴函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)

（3）解：∵f（﹣m）+f（1﹣m）＜0，∴f（﹣m）＜f（m﹣1），

且f（﹣m）+f（1﹣m）=f（1﹣2m）

∴ ，解得：﹣ ＜m＜

【解析】（1）由f（x+y）=f（x）+f（y）可令x=y=0 有f （0 ）=0，令y=﹣x 代入即證；（2）設(shè)x2＞x1則x1﹣x2＜0，由已知當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0可得f（x1﹣x2）＞0，則f（x1）=f[（x1﹣x2）+x2]=f（x1﹣x2）+f（x2）＞f（x2）可證；（3）移項(xiàng)，利用奇偶性進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用單調(diào)性建立不等式，注意定義域，從而可求出m的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)的奇偶性的理解，了解偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．