Question

如圖，四棱錐S-ABCD的所有棱長均為1米，一只小蟲從S點出發(fā)沿四棱錐爬行，若在每頂點處選擇不同的棱都是等可能的．設(shè)小蟲爬行n米后恰回到S點的概率為P_n（n≥2，n∈N）．
（1）求P₂，P₃的值；
（2）求證：3P_n+1+P_n=1（n≥2，n∈N）；
（3）求證：P₂+P₃+…+P_n＞（n≥2，n∈N）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用分布計數(shù)原理求出小蟲爬行2米所有的方法數(shù)，求出小蟲爬2米后恰回到S點的方法數(shù)，利用古典概型概率公式求出概率，
（2）利用對立事件的概率公式求出P_n，P_n+1的遞推關(guān)系，
（3）有（2）中P_n，P_n+1的遞推關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求出P_n的通項，通過分組利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求出和．
解答：解：（1）P₂表示從S點到A（或B、C、D），然后再回到S點的概率，所以P₂=4×=；
因為從S點沿一棱爬行，不妨設(shè)為沿著SA棱再經(jīng)過B或D，然后再回到S點的概率為×2=，
所以P₃=×4=．
（2）證明：設(shè)小蟲爬行n米后恰回到S點的概率為P_n，
那么1-P_n表示爬行n米后恰好沒回到S點的概率，
則此時小蟲必在A（或B、C、D）點，所以×（1-P_n）=P_n+1，即3P_n+1+P_n=1（n≥2，n∈N）．
（3）證明：由3P_n+1+P_n=1，得=-，
從而P_n=+^n-2（n≥2，n∈N）．
所以P₂+P₃+…+P_n=+
=+
=+×+＞．
點評：本題考查古典概型概率公式、構(gòu)造新數(shù)列求數(shù)列的通項公式的方法、等差數(shù)列的前n項和公式、等比數(shù)列的前n項和公式