Question

已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊，2bcosC=2a-c．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）若點M為邊BC的中點，AM=2

3

，求a+c的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，將sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入求出cosB的值，即可確定出B的度數(shù)；
（Ⅱ）記∠BAM=θ，其中0＜θ＜

2π

3

，在三角形ABM中，利用正弦定理列出關(guān)系式，表示出a與c，代入a+c中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值．

解答： 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡得：2sinBcosC=2sinA-sinC，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC，即sinC（2cosB-1）=0，
∵0＜B＜π，sinC＞0，
∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

；
（Ⅱ）記∠BAM=θ，其中0＜θ＜

2π

3

，
在△ABM中，AB=c，sin∠BAM=sinθ，BM=

1

2

BC=

1

2

a，sin∠AMB=sin∠AMC=sin（θ+

π

3

），AM=2

3

，
∴由正弦定理得：

c

sin(θ+ π 3 )

=

AM

sin π 3

=

1 2 a

sinθ

=4，
∴c=4sin（θ+

π

3

），a=8sinθ，
∴a+c=8sinθ+4sin（θ+

π

3

）=8sinθ+2sinθ+2

3

cosθ=10sinθ+2

3

cosθ=4

7

sin（θ+α），其中cosα=

5 7

14

，sinα=

21

14

，
θ+α可以取到

π

2

，
∴a+c=4

7

sin（θ+α）≤4

7

，
則a+c的最大值為4

7

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．