Question

若正項(xiàng)數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足條件：存在正整數(shù)k，使得

an+k

an

=

an

an-k

對(duì)一切n∈N^*，n＞k都成立，則稱(chēng)數(shù)列{a_n}為k級(jí)等比數(shù)列．
（1）已知數(shù)列{a_n}為2級(jí)等比數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為4，

1

3

，2，1，求a₈•a₉的值；
（2）若a_n=2ⁿsin（ωn+

π

6

）（ω為常數(shù)），且{a_n}是3級(jí)等比數(shù)列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值時(shí)數(shù)列{a_n}的前3n項(xiàng)和S_3n；
（3）證明：{a_n}為等比數(shù)列的充要條件是{a_n}既為2級(jí)等比數(shù)列，{a_n}也為3級(jí)等比數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用定義，求出a₈、a₉，即可求a₈•a₉的值；
（2）根據(jù){a_n}是3級(jí)等比數(shù)列，列出方程，即可求ω所有可能值的集合，從而求ω取最小正值時(shí)數(shù)列{a_n}的前3n項(xiàng)和S_3n；
（3）根據(jù)數(shù)列{a_n}為k級(jí)等比數(shù)列的定義，分充分性與必要性進(jìn)行證明即可．

解答： （1）解：由題意，a8=a2(

a4

a2

)3=

1

3

×33=9…（2分）
a9=a1(

a3

a1

)4=4×

1

24

=

1

4

，
∴a8•a9=

9

4

…（4分）
（2）解：∵{a_n}是3級(jí)等比數(shù)列，
∴

an+3

an

=

an

an-3

[2nsin(ωn+

π

6

)]2=2n-3sin[(ωn+

π

6

)-3ω]2n+3sin[(ωn+

π

6

)+3ω]…（1分）
∴sin2(ωn+

π

6

)=sin[(ωn+

π

6

)-3ω]sin[(ωn+

π

6

)+3ω]=sin2(ωn+

π

6

)cos23ω-cos2(ωn+

π

6

)sin23ω
=sin2(ωn+

π

6

)cos23ω-cos2(ωn+

π

6

)sin23ω=sin2(ωn+

π

6

)-sin²3ω
∴sin²3ω=0，
∴3ω=kπ（k∈Z），∴ω=

kπ

3

(k∈Z)，∴ω∈{ω|ω=

kπ

3

(k∈Z)}…（3分）
∴ω最小正值等于

π

3

，此時(shí)an=2nsin(

nπ

3

+

π

6

)

an+3

an

=-8，a1=2×1=2，a2=4×

1

2

=2，a3=8×(-

1

2

)=-4，
∴a₁+a₂+a₃=0，
∴a3n-2+a3n-1+a3n=(a1+a2+a3)(-8)n-1=0…（5分）
∴S_3n=（a₁+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a_3n-2+a_3n-1+a_3n）=0…（6分）
（3）必要性：若{a_n}為等比數(shù)列，則

an+k

an

=

an

an-k

=qk
對(duì)一切k∈N^*成立，顯然對(duì)k=2，3成立．
∴{a_n}既為2級(jí)等比數(shù)列，{a_n}也為3級(jí)等比數(shù)列．…（2分）
充分性：若{a_n}為2級(jí)等比數(shù)列，

an+2

an

=

an

an-2

，則{a_2n-1}，{a_2n}均成等比數(shù)列，
設(shè)等比數(shù)列{a_2n-1}，{a_2n}的公比分別為q₁，q₂，{a_n}為3級(jí)等比數(shù)列，

an+3

an

=

an

an-3

，則{a_3n-2}成等比數(shù)列，設(shè)公比為Q…（3分）
∵a₁，a₇既是中{a_2n-1}的項(xiàng)，也是{a_3n-2}中的項(xiàng)，
∴

a7

a1

=

q

3 1

=Q2a₄，a₁₀既是中{a_2n}的項(xiàng)，也是中{a_3n-2}的項(xiàng)，

a10

a4

=

q

3 2

=Q2

q

3 1

=

q

3 2

=Q2，∴q₁=q₂…（5分）
設(shè)q1=q2=q2，則Q=q³
∴a2n-1=a1

q

n-1 1

=a1q2n-2（n∈N^*），a2n=a2

q

n-1 2

=a2q2n-2（n∈N^*），
又a4=a1Q=a1q3，a4=a2q2=a2q2，
∴a₂=a₁q，…（7分）a2n=a1q2n-1（n∈N^*）
∴a2n-1=a1q2n-2，a2n=a1q2n-1（n∈N^*）
綜合得：an=a1qn-1(n∈N*)，顯然{a_n}為等比數(shù)列．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．