Question

【題目】設(shè)n為一個(gè)正整數(shù)，三維空間內(nèi)的點(diǎn)集S滿足下述性質(zhì)：

（1）.空間內(nèi)不存在n個(gè)平面，使得點(diǎn)集S中的每個(gè)點(diǎn)至少在這n個(gè)平面中的一個(gè)平面上；

（2）.對于每個(gè)點(diǎn)，均存在n個(gè)平面，使得中的每個(gè)點(diǎn)均至少在這n個(gè)平面中的一個(gè)平面上.

求點(diǎn)集S中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最小值與最大值.

Answer 1

【答案】最小值為3n+1，最大值為.

【解析】

先求的最小可能值.

由于過任意三點(diǎn)均可以作一個(gè)平面，故.

而當(dāng)3n+1個(gè)點(diǎn)中，任意四點(diǎn)不共面時(shí)，即滿足題設(shè)條件.

于是，的最小可能值為3n+1.

接下來求的最大可能值.

對于每一個(gè)，

設(shè)直線能覆蓋.

由題設(shè)知.

設(shè).

則為一個(gè)三元n次多項(xiàng)式，且，.

于是，在（為次數(shù)不超過n的三元多項(xiàng)式的向量空間）中是線性無關(guān)的.

因此，.

下面給出集合S中有個(gè)點(diǎn)的例子.

如圖，設(shè)為個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體點(diǎn)陣.

則.

對于每個(gè)點(diǎn)，可以用n個(gè)平面覆蓋.但不能用n個(gè)平面覆蓋.

綜上，集合S中點(diǎn)的個(gè)數(shù)的最大值為.