Question

已知f(x)＝是奇函數(shù)．

(1)求a，b的值；

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并加以證明；

(3)求f(x)(x>0)的最值．

Answer 1

 (1)∵f(x)＋f(－x)＝0恒成立，

即＝0恒成立，

則2(a＋b)x²＋2a＝0對任意的實(shí)數(shù)x恒成立．

∴a＝b＝0.

(2)∵f(x)＝ (x∈R)是奇函數(shù)，

∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的單調(diào)區(qū)間即可．

任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁<x₂，則

f(x₁)－f(x₂)＝∵x＋1>0，x＋1>0，x₂－x₁>0，

而x₁，x₂∈[0,1]時，x₁x₂－1<0，

∴當(dāng)x₁，x₂∈[0,1]時，f(x₁)－f(x₂)<0，

函數(shù)y＝f(x)是增加的；

當(dāng)x₁，x₂∈[1，＋∞)時，f(x₁)－f(x₂)>0，

函數(shù)y＝f(x)是減少的．

又f(x)是奇函數(shù)，

∴f(x)在[－1,0]上是增加的，在(－∞，－1]上是減少的．

又x∈[0,1]，u∈[－1,0]時，恒有f(x)≥f(u)，等號只在x＝u＝0時取到，故f(x)在[－1,1]上是增加的．

(3)由(2)知函數(shù)f(x)在(0,1)上遞增，在[1，＋∞)上遞減，則f(x)在x＝1處可取得最大值 .

∴f(1)＝，∴函數(shù)的最大值為，無最小值．