Question

若F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．
（1）求出這個(gè)橢圓的方程；
（2）是否存在過定點(diǎn)N（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)A、B，使∠AOB=90°（其中0為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線l的斜率k，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)l為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，故，，由∠AOB=90°，知，由此能求出求出直線l的斜率k．
解答：解：（1）∵F₁、F₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，
P是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
∴，
即a=2，c=，∴，
∴橢圓方程為．
（2）當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，即x=0不滿足題設(shè)條件…3
設(shè)l為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，
∴，
∴，
∵∠AOB=90°，∴，

∴k²=4，k=±2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，探索直線的斜率是否存在，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．