設(shè)橢圓 C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點(diǎn)與拋物線 C2：x2=4
3
y 的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率 e=
1
2
，過橢圓右焦點(diǎn) F2的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在直線 l，使得 
OM
•
ON
=-2，若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，說明理由．
分析：（1）確定橢圓的一個頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合離心率，即可求得橢圓C的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，及向量數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）拋物線 C2：x2=4
3
y 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，
3
），
∴橢圓的一個頂點(diǎn)為（0，
3
），即b=
3

∵e=
c
a
=
1-
b2
a2
=
1
2
，∴a=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由題意，直線l與橢圓必相交
①斜率不存在時，直線l為x=1，代入橢圓方程，可得y=±
3
2
，∴
OM
•
ON
=-
9
4
，不合題意；
②斜率存在時，設(shè)方程為y=k（x-1）（k≠0），M（x1，y1）、N（x2，y2），
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0
∴x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1x2=
4k2-12
3+4k2
，
∴
OM
•
ON
=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-（x1+x2）+1]=
4k2-12
3+4k2
+k2（
4k2-12
3+4k2
-
8k2
3+4k2
+1）=
-5k2-12
3+4k2
=-2
∴k=±
2
，
故直線l的方程為y=
2
（x-1）或y=-
2
（x-1）．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1、F2，下頂點(diǎn)為A，線段OA的中點(diǎn)為B（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如圖．若拋物線C2：y=x2-1與y軸的交點(diǎn)為B，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)M（0，-
4
5
），N為拋物線C2上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點(diǎn)，求△MPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點(diǎn)F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn)，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•德州一模）設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個頂點(diǎn)與拋物線C2：x2=4
2
y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率e=
3
3
，過橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l，使得
OM
•
ON
=-1，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2為左、右焦點(diǎn)，離心率e=
1
2
，一個短軸的端點(diǎn)（0，
3
）；拋物線C2：y2=4mx（m＞0），焦點(diǎn)為F2，橢圓C1與拋物線C2的一個交點(diǎn)為P．
（1）求橢圓C1與拋物線C2的方程；
（2）直線l經(jīng)過橢圓C1的右焦點(diǎn)F2與拋物線C2交于A1，A2兩點(diǎn)，如果弦長|A1A2|等于△PF1F2的周長，求直線l的斜率．

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同步練習(xí)冊答案