【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：；

（3）求證：對任意正整數(shù)，都有（其中，為自然對數(shù)的底數(shù)）.

【答案】（1）討論見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）求出，按在定義域是否恒成立分類討論，不恒成立，求出，的解，即可求出結(jié)論；

（2）要證，只需證，令，只要證，求導(dǎo)，求出極值最值，即可得證；

（3）由（2）得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），令，則，結(jié)合，累加再利用裂項(xiàng)相消法，對數(shù)運(yùn)算，即可得出結(jié)論.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，令，解得：，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

（2）當(dāng)時(shí)，，

要證明，即證，即，

設(shè)，則，令得，.

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以為極大值點(diǎn)，也為最大值點(diǎn)，

所以，即，

故.

（3）由（2）得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），

令，則，

所以

，

即，

所以.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在其巨著《圓錐曲線論》中提出“在同一平面上給出三點(diǎn)，若其中一點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離之比是一個(gè)大于零且不等于1的常數(shù)，則該點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓”現(xiàn)在，某電信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信號塔來構(gòu)建一個(gè)三角形信號覆蓋區(qū)域，以實(shí)現(xiàn)5G商用，已知甲、乙兩地相距4公里，丙、甲兩地距離是丙、乙兩地距離的倍，則這個(gè)三角形信號覆蓋區(qū)域的最大面積（單位：平方公里）是（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在高山滑雪運(yùn)動(dòng)的曲道賽項(xiàng)目中，運(yùn)動(dòng)員從高處（起點(diǎn)）向下滑，在滑行中運(yùn)動(dòng)員要穿過多個(gè)高約0.75米，寬4至6米的旗門，規(guī)定：運(yùn)動(dòng)員不經(jīng)過任何一個(gè)旗門，都會(huì)被判一次“失格”，滑行時(shí)間會(huì)被增加，而所用時(shí)間越少，則排名越高.已知在參加比賽的運(yùn)動(dòng)員中，有五位運(yùn)動(dòng)員在滑行過程中都有三次“失格”，其中

（1）甲在滑行過程中依次沒有經(jīng)過，，三個(gè)旗門；

（2）乙在滑行過程中依次沒有經(jīng)過，，三個(gè)旗門；

（3）丙在滑行過程中依次沒有經(jīng)過，，三個(gè)旗門；

（4）丁在滑行過程中依次沒有經(jīng)過，，三個(gè)旗門；

（5）戊在滑行過程中依次沒有經(jīng)過，，三個(gè)旗門.

根據(jù)以上信息，，，，，，，，這8個(gè)旗門從上至下的排列順序共有（ ）種可能.

A.6B.7C.8D.12

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，四邊形是邊長為2的菱形，，，，E，F分別為AC，的中點(diǎn)．

（1）求證：直線EF∥平面；

（2）設(shè)分別在側(cè)棱，上，且，求平面BPQ分棱柱所成兩部分的體積比．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校需從甲、乙兩名學(xué)生中選一人參加物理競賽，這兩名學(xué)生最近5次的物理競賽模擬成績?nèi)缦卤恚?/span>

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

學(xué)生甲的成績（分）

80

85

71

92

87

學(xué)生乙的成績（分）

90

76

75

92

82

（1）根據(jù)成績的穩(wěn)定性，現(xiàn)從甲、乙兩名學(xué)生中選出一人參加物理競賽，你認(rèn)為選誰比較合適？

（2）若物理競賽分為初賽和復(fù)賽，在初賽中有如下兩種答題方案：方案1：每人從5道備選題中任意抽出1道，若答對，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰；方案2：每人從5道備選題中任意抽出3道，若至少答對其中2道，則可參加復(fù)賽，否則被淘汰.若學(xué)生乙只會(huì)5道備選題中的3道，則學(xué)生乙選擇哪種答題方案進(jìn)入復(fù)賽的可能性更大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義函數(shù)如下:對于實(shí)數(shù),如果存在整數(shù),使得,則.則下列結(jié)論:①是實(shí)數(shù)上的遞增函數(shù);②是周期為1的函數(shù);③是奇函數(shù);④函數(shù)的圖像與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn).則正確結(jié)論的序號是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若常數(shù)，且對任何，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知．

（1）設(shè)是的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值，并求的單調(diào)區(qū)間：

（2）時(shí)，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為()，將曲線向左平移2個(gè)單位長度得到曲線.

（1）求曲線的普通方程和極坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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