Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）當時，證明：函數(shù)只有一個零點；

（3）若函數(shù)的極大值等于，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）求得函數(shù)在處的導數(shù)，由此求得切線方程.

（2）通過求的二階導數(shù)，研究其一階導數(shù)，進而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此證得函數(shù)只有一個零點.

（3）當時根據(jù)（2）的結(jié)論證得結(jié)論成立.當，根據(jù)的二階導數(shù)，對分成三種情況，利用的一階導數(shù)，結(jié)合零點的存在性定理，求得實數(shù)的取值范圍.

（1）當時，，，，，所以在處的切線方程為.

（2），令，

當時，，在上單調(diào)遞減，又，

所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減

所以，所以只有一個零點.

（3）①當時，由（2）知，的極大值為，符合題意；

②當時，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，注意到，

（�。┊�時，，又.

所以存在，使得，當時， ，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，符合題意；

（ⅱ）當時，恒成立，在上單調(diào)遞減，無極值，不合題意；

（ⅲ）當時，，又，令

，在上單調(diào)遞減，

所以，所以，

存在，使得，

當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，且，不合題意.

綜上可知，的取值范圍是.