Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的極小值；

（2）設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點的個數(shù)；

（3）若存在實數(shù)，使得對任意，不等式恒成立，求正整數(shù)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）分類討論，詳見解析；（3）4.

【解析】

(1)求導(dǎo)后,利用導(dǎo)數(shù)可求得極小值;

(2)轉(zhuǎn)化為討論在上的解的個數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)可解決;

(3) 轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立后,構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)可解得,

（1），.

則，

令，得；令，得或（或列表求）

∴函數(shù)在單調(diào)減，在單調(diào)增，在上單調(diào)減，

∴函數(shù)在處取得極小值；

（2），

∵，∴，

設(shè)，則，令，則.

∴在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，且，，，.

∴當(dāng)或時，有1解，

即在上的零點的個數(shù)為1個；

當(dāng)時，有2解，即在上的零點的個數(shù)為2個；

當(dāng)時，有0解，即在上的零點的個數(shù)為0個．

（3）∵，存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立，∴存在實數(shù)，使對任意的，不等式恒成立.

∵，∴對任意的，不等式恒成立.

即對任意的，不等式恒成立．

設(shè)，，

∴，可求得在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

則在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，

當(dāng)時，在上遞減,所以恒成立；

當(dāng)時，在上遞減,在上遞增,所以，因為， ，而；所以在上不恒成立,

∴正整數(shù)的最大值為4．