Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a(x-1)

x

(x＞0，a∈R)．
（1）試求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：不等式

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

對(duì)于x∈（1，2）恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)的定義域是（0，+∞），求出導(dǎo)數(shù)，分a≤0和a＞0兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到單調(diào)區(qū)間．
（2）將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為g（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值，
只要最小值大于0即可．

解答： （1）解：f/(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

(x＞0)．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時(shí)，x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，在上單調(diào)遞減； x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，在（a，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）．
（2）證明：要證

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

，即證lnx＞

2x-2

x+1

設(shè)g（x）=lnx-

2x-2

x+1

，∴g′（x）=

1

x

-

4

(x+1)2

＞0x∈（1，2）恒成立，
∴g（x）_min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，
即

1

lnx

-

1

x-1

＜

1

2

(1＜x＜2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)及函數(shù)恒成立問(wèn)題，要證g（x）＞0，只要證g（x）的最小值大于0．