Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H、K、L分別是DC、DD₁、A₁D₁、A₁B₁、BB₁、BC的中點(diǎn)，O為底面中心，求證：這六點(diǎn)共面．

Answer 1

考點(diǎn)：平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：接EF、FG、GH、HK、KL、LE、EG、LH、BD、B₁D₁，則EL∥BD，GH∥B₁D₁，BD∥B₁D₁，從而EL∥GH，過EL、GH做平面ELHG，E、L、H、G共面，設(shè)EG、LH與平面BDB₁D₁的交點(diǎn)分別為P、Q，則PQ∥EL∥GH，且P、Q分別為GE、LH的中點(diǎn)，由此能證明E、F、G、H、K、L這六點(diǎn)共面．

解答： 證明：接EF、FG、GH、HK、KL、LE、EG、LH、BD、B₁D₁，
E、L、G、H分別為CD、BC、A₁D₁、A₁B₁中點(diǎn)，
則EL∥BD，GH∥B₁D₁，BD∥B₁D₁，
則EL∥GH，過EL、GH做平面ELHG，
E、L、H、G共面，設(shè)EG、LH與平面BDB₁D₁的交點(diǎn)分別為P、Q，
則PQ∥EL∥GH，且P、Q分別為GE、LH的中點(diǎn)，
連接FP、KQ，則FP∥BD∥KQ，
F、P、Q、K共線，F(xiàn)、K在平面ELHG內(nèi)，
所以E、F、G、H、K、L這六點(diǎn)共面．

點(diǎn)評：本題考查六點(diǎn)共面的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．