Question

【題目】已知數(shù)列滿足：

(1) 證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

(2) 求使不等式成立的所有正整數(shù)m、n的值；

(3) 如果常數(shù)0 < t < 3，對(duì)于任意的正整數(shù)k，都有成立，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）或或；（3）(0,1)∪(2, ).

【解析】試題分析：（1）由遞推關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列；（2）化簡(jiǎn)不等式得，依次驗(yàn)證m取1,2,3,4，即可得出；（3）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求(2ak–ak+1)min即可.

試題解析：

(1) 由an+1=an+2，所以an+1–4 =( an–4 )，

且a1–4=–2，故數(shù)列{an–4}是以–2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；

(2) 由(1)題，得an–4=–2，得，

于是，當(dāng)m≥4時(shí)，，無(wú)解，

因此，滿足題意的解為或或；

(3) 解：① 當(dāng)k=1時(shí)，由，解得0<t<1或2<t<3，

② 當(dāng)k≥2時(shí)，，故分母恒成立，

從而，只需ak+1–t<2(ak–t)對(duì)k≥2，k∈N*恒成立，即t<2ak–ak+1對(duì)k≥2，k∈N*恒成立，故t<(2ak–ak+1)min，

又，故當(dāng)時(shí)，，所以，

綜上所述，的取值范圍是(0,1)∪(2,)．