Question

已知函數f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函數f（x）在x=-1和x=3處取得極值，試求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-2，6]時，f（x）＜c²+4c恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）先求導，令導數為0，可確定a，b；
（2）將恒成立問題可轉化為最值問題．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+b，
由函數f（x）在x=-1和x=3處取得極值知，
f′（-1）=3+2a+b=0，f′（3）=27-6a+b=0
聯立解得，
a=3，b=-9．
（2）f（x）=x³-3x²-9x+c，
f（-2）=-2+c，f（-1）=5+c，f（3）=-27+c，f（6）=54+c；
則54+c＜c²+4c，
c²+3c-54＞0
（c+9）（c-6）＞0
∴c＞6或c＜-9．

點評：本題考查了學生對利用導數求極值的理解及恒成立問題的處理方法，是基礎題．