Question

【題目】某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤分別為和（萬元），事先根據(jù)相關(guān)資料得出它們與投入資金（萬元）的數(shù)據(jù)分別如下表和圖所示：其中已知甲的利潤模型為，乙的利潤模型為．（為參數(shù)，且）.

（1）請根據(jù)下表與圖中數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤與投入資金（萬元）的函數(shù)模型

（2）今將萬資金投入生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，并要求對甲、乙兩種產(chǎn)品的投入資金都不低于萬元．設(shè)對乙種產(chǎn)品投入資金（萬元），并設(shè)總利潤為（萬元），如何分配投入資金，才能使總利潤最大？并求出最大總利潤．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)甲產(chǎn)品投入萬元，乙產(chǎn)品投入萬元時(shí)，總利潤最大為萬元

【解析】

（1）根據(jù)題意,將數(shù)據(jù)分別代入甲、乙兩種產(chǎn)品所得的利潤與投入資金（萬元）的函數(shù)模型中,解方程組,即可求出函數(shù)表達(dá)式.

（2）根據(jù)題意,設(shè)對乙種產(chǎn)品投資,對甲種產(chǎn)品投資,代入兩個(gè)利潤公式,利用換元法求出函數(shù)的值域,然后求最大值即可.

解：（1）由甲的數(shù)據(jù)表結(jié)合模型代入兩點(diǎn)可得

代入有

得,

即

由乙的數(shù)據(jù)圖結(jié)合模型代入三個(gè)點(diǎn)可得,,可得

,

得,,

即

（2）根據(jù)題意,對乙種產(chǎn)品投資（萬元）,對甲種產(chǎn)品投資（萬元）,

那么總利潤,

由,解得,

所以,

令,,故,

則,

所以當(dāng)時(shí),即時(shí),,

答：當(dāng)甲產(chǎn)品投入萬元,乙產(chǎn)品投入萬元時(shí),總利潤最大為萬元