Question

【題目】已知函數(shù)，其中a為正實(shí)數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析；

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)得到，然后根據(jù)，分討論求解.

（2）由（1）得到若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則，且，，代入，得到，要證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明即可.

（1）因?yàn)楹瘮?shù)，

所以，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

令，

①若，即時(shí)，則，此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為；

②若，即時(shí)，

令，得，

當(dāng)或時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

此時(shí)的單調(diào)減區(qū)間為，，

單調(diào)增區(qū)間為.

（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，.

因?yàn)?/span>，

，

，

要證，只需證.

構(gòu)造函數(shù)，

則，

在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，

由零點(diǎn)存在定理，可知在上唯一實(shí)根，且.

則在上遞減，上遞增，所以的最小值為

因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，則，

所以恒成立.

所以，

所以，得證.