Question

1．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實軸長為2，焦點到漸近線的距離為$\sqrt{3}$．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C左、右兩支上各有-點A、B，點B在直線x=$\frac{1}{2}$上的射影是點B′，若直線AB過右焦點，求證直線AB′必過定點．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實軸長為2，焦點到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，可得a=1，b=$\sqrt{3}$，即可求出雙曲線C的方程；
（2）雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點為（2，0），設AB：y=k（x-2），代入雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，由此推導出直線AB′的方程，從而能求出直線AB'過x軸定點．

解答 解：（1）∵雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的實軸長為2，焦點到漸近線的距離為$\sqrt{3}$，
∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴雙曲線C的方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點為（2，0），
設AB：y=k（x-2），代入雙曲線${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得3x²-k²（x²-4x+4）=3，
即（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，
x_1，2=$\frac{-2{k}^{2}±3\sqrt{{k}^{2}+1}}{3-{k}^{2}}$，
設A（x₁，k（x₁-2）），B（x₂，k（x₂-2）），則B′（$\frac{1}{2}$，k（x₂-2）），
AB′的斜率=$\frac{k（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}$，k′=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}$=$\frac{4k}{\sqrt{{k}^{2}+1}+2}$，
∴直線AB′的方程為：y-3k•$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}-2}{3-{k}^{2}}$=（x-$\frac{1}{2}$）•$\frac{4k}{\sqrt{{k}^{2}+1}+2}$．
令y=0，解得x=$\frac{5}{4}$．
∴直線AB'過x軸定點（$\frac{5}{4}$，0）．

點評 本題考查雙曲線的方程，考查直線過x軸上的定點坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線與雙曲線的位置關系的靈活運用．