Question

解下列關(guān)于x的不等式：
（1）x²-（a+

1

a

）x+1＜0（a≠0）；
（2）

ax-1

x-a

＜0（a∈R）．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法,其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)一元二次不等式的解法和分式不等式的解法即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由x²-（a+

1

a

）x+1＜0（a≠0）得（x-a）（x-

1

a

）＜0（a≠0）；
由a=

1

a

解得a=1或a=-1，
若a=1或a=-1時，不等式的解集為∅，
若a＜-1或0＜a＜1時，a＜

1

a

，此時不等式的解為a＜x＜

1

a

，
若-1＜a＜0或a＞1時，a＞

1

a

，此時不等式的解為

1

a

＜x＜a，
綜上若a=1或a=-1時，不等式的解集為∅，
若a＜-1或0＜a＜1時，a＜

1

a

，此時不等式的解為（a，

1

a

），
若-1＜a＜0或a＞1時，a＞

1

a

，此時不等式的解為（

1

a

，a）
（2）

ax-1

x-a

＜0等價(jià)為（ax-1）（x-a）＜0，
若a=0，不等式等價(jià)為x＞0，
若a＞0，不等式等價(jià)為a（x-a）（x-

1

a

）＜0，即（x-a）（x-

1

a

）＜0，
由（1）知若a=1時，不等式的解集為∅，
若0＜a＜1時，a＜

1

a

，此時不等式的解為（a，

1

a

），
若a＞1時，a＞

1

a

，此時不等式的解為（

1

a

，a）．
若a＜0，不等式等價(jià)為a（x-a）（x-

1

a

）＜0，即x-a）（x-

1

a

）＞0，
若a=-1時，不等式的解集為{x|x≠-1}，
若a＜-1時，a＜

1

a

，此時不等式的解集{x|x＜a或x＞

1

a

}，
若-1＜a＜0時，a＞

1

a

，此時不等式的解集{x|x＜

1

a

或x＞a}．

點(diǎn)評：本題主要考查不等式的求解，注意分類討論．