Question

【題目】橢圓C： 的左、右焦點分別是F1、F2，離心率為，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為l．

（1）求橢圓C的方程；

（2）點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1、PF2，設(shè)∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M（m，0），求m的取值范圍．

（3）在（2）的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，若k≠0，試證明為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）-8

【解析】試題（1）根據(jù)題意可得又因為，所以可得a，b的值，即可得方程；（2）設(shè)出點p坐標(biāo)，由兩點式列出直線方程，然后利用點m到兩直線的距離相等來確定m值，再根據(jù)p點，橫坐標(biāo)的范圍，來確定m范圍；（3）設(shè)直線方程為與橢圓方程聯(lián)立，需滿足求得，由（2）可知，代入化簡即可

試題解析：（1）由于

由題意知

又

（2）設(shè)

由題意知

由于點P在橢圓上，所以

所以

（3）設(shè)則直線l的方程為

聯(lián)立

由題意得

又

由（2）知

所以

因此