【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形, M為PD的中點(diǎn),PA⊥平面ABCD,PA=AD= 4, AB = 2.
(1)求證:AM⊥平面MCD;
(2)求直線PC與平面MAC所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)根據(jù)PA⊥平面ABCD可得PA⊥CD,又CD⊥AD ,所以CD⊥平面PAD,得CD⊥AM,又AM⊥PD,即可證明AM⊥平面MCD(2)建立空間坐標(biāo)系,利用向量法求解即可.
因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD,
又CD⊥AD,PA∩AD=A,
所以CD⊥平面PAD,
又AM平面PAD,所以CD⊥AM,
又∵PA=AD=4,且M為PD中點(diǎn),
所以AM⊥PD,
又∵CD∩PD=D,
所以AM⊥平面MCD
(2)因?yàn)?/span>PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,
所以可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),P(0,0,4),C(2,4,0),M(0,2,2)
設(shè)平面MAC的一個法向量為=,
由⊥, ⊥,可得
令,則=(2,-1,1)
設(shè)直線PC與平面MAC所成的角為,
則,
所以直線PC與平面MAC所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】質(zhì)監(jiān)部門從某超市銷售的甲、乙兩種食用油中分別各隨機(jī)抽取100桶檢測某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo),由檢測結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(甲)中的值;記甲、乙兩種食用油100桶樣本的質(zhì)量指標(biāo)的方差分別為,,試比較,的大。ㄖ灰髮懗龃鸢福;
(Ⅱ)估計在甲、乙兩種食用油中隨機(jī)抽取1捅,恰有一桶的質(zhì)量指標(biāo)大于20;
(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,乙種食用油的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,設(shè)表示從乙種食用油中隨機(jī)抽取10桶,其質(zhì)量指標(biāo)值位于(14.55,38.45)的桶數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.
注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)問的中點(diǎn)值作代表,計算得
②若,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為研究某種圖書每冊的成本費(fèi)(元)與印刷數(shù)(千冊)的關(guān)系,收集了一些數(shù)據(jù)并作了初步處理,得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計量的值.
15.25 | 3.63 | 0.269 | 2085.5 | 0.787 | 7.049 |
表中, .
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷: 與哪一個更適宜作為每冊成本費(fèi)(元)與印刷數(shù)(千冊)的回歸方程類型?(只要求給出判斷,不必說明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程(回歸系數(shù)的結(jié)果精確到0.01);
(3)若每冊書定價為10元,則至少應(yīng)該印刷多少冊才能使銷售利潤不低于78840元?(假設(shè)能夠全部售出,結(jié)果精確到1)
(附:對于一組數(shù)據(jù), ,…, ,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)集具有性質(zhì);對任意的、,,與兩數(shù)中至少有一個屬于.
(1)分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)證明:,且;
(3)當(dāng)時,若,求集合.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),它與曲線
C:(y-2)2-x2=1交于A、B兩點(diǎn).
(1)求|AB|的長;
(2)在以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為,求點(diǎn)P到線段AB中點(diǎn)M的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】20名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績(單位:分)的頻率分布直方圖如下:
(1)求頻率直方圖中a的值;
(2)分別求出成績落在[50,60)與[60,70)中的學(xué)生人數(shù);
(3)從成績在[50,70)的學(xué)生中人選2人,求這2人的成績都在[60,70)中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于正整數(shù)集合(,),如果去掉其中任意一個元素()之后,剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個交集為空集的集合,且這兩個集合的所有元素之和相等,就稱集合為“和諧集”.
(1)判斷集合是否為“和諧集”,并說明理由;
(2)求證:集合是“和諧集”;
(3)求證:若集合是“和諧集”,則集合中元素個數(shù)為奇數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下圖為某校數(shù)學(xué)專業(yè)N名畢業(yè)生的綜合測評成績(百分制)頻率分布直方圖,已知80-90分?jǐn)?shù)段的學(xué)員數(shù)為21人。
(1)求該專業(yè)畢業(yè)總?cè)藬?shù)N和90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù);
(2)現(xiàn)欲將90-95分?jǐn)?shù)段內(nèi)的n名人分配到幾所學(xué)校,從中安排2人到甲學(xué)校去,若n人中僅有兩名男生,求安排結(jié)果至少有一名男生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】北京時間3月15日下午,谷歌圍棋人工智能與韓國棋手李世石進(jìn)行最后一輪較量, 獲得本場比賽勝利,最終人機(jī)大戰(zhàn)總比分定格.人機(jī)大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注,某學(xué)校社團(tuán)為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況,隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖(如圖所示),將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”.
(Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為“圍棋迷”與性別有關(guān)?
非圍棋迷 | 圍棋迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | 10 | 55 | |
合計 |
(Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)在從該地區(qū)大量學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名學(xué)生,抽取3次,記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的平均值和方差.
附: ,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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