Question

【題目】如圖，△ABC中，sin = ，AB=2，點D在線段AC上，且AD=2DC，BD= ．（Ⅰ）求：BC的長；（Ⅱ）求△DBC的面積．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為sin = ，所以cos∠ABC=1﹣2 =1﹣2× = ． 在△ABC中，設(shè)BC=a，AC=3b，
由余弦定理可得： ①
在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得：
， ．
因為cos∠ADB=﹣cos∠BDC，所以有 ，所以3b2﹣a2=﹣6 ②
由①②可得a=3，b=1，即BC=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos∠ABC= ，則sin∠ABC= = ，又AB=2，BC=3，
則△ABC的面積為 ABBCsin∠ABC= ，
又因為AD=2DC，所以△DBC的面積為 ×2 =
【解析】（Ⅰ）由sin 的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可求出cos∠ABC的值，設(shè)BC=a，AC=3b，由AD=2DC得到AD=2b，DC=b，在三角形ABC中，利用余弦定理得到關(guān)于a與b的關(guān)系式，記作①，在三角形ABD和三角形DBC中，利用余弦定理分別表示出cos∠ADB和cos∠BDC，由于兩角互補，得到cos∠ADB等于﹣cos∠BDC，兩個關(guān)系式互為相反數(shù)，得到a與b的另一個關(guān)系式，記作②，①②聯(lián)立即可求出a與b的值，即可得到BC的值；（Ⅱ）由角ABC的范圍和cos∠ABC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin∠ABC的值，由AB和BC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積，由AD=2DC，且三角形ABD和三角形BDC的高相等，得到三角形BDC的面積等于三角形ABC面積的 ，進而求出三角形BDC的面積．