Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊是a，b，c，且（3a-c）•cosB=b•cosC．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若b=2

2

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡，求出cosB的值即可；
（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，將b，cosB的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由（3a-c）cosB=bcosC及正弦定理得：（3sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
∵B+C=π-A，
∴sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴3sinAcosB=sinA，
又sinA≠0，
∴cosB=

1

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinB=

1-cos2B

=

2 2

3

，
∵b=2

2

，cosB=

1

3

，
∴由余弦定理及基本不等式得：8=a²+c²-2accosB=a²+c²-

2

3

ac≥2ac-

2

3

ac=

4

3

ac，即ac≤6（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=

6

時(shí)取到等號），
∴△ABC的面積為S=

1

2

acsinB≤

1

2

×6×

2 2

3

=2

2

，
則△ABC的面積的最大值為2

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．