Question

已知f（x）=

px2+2

q+x

是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，f（2）=5．
（1）求p、q的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）若方程f（x）=a在區(qū)間[

1

2

，3]上恒有兩個(gè)不同的實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（x）在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），f（2）=5，列式求出p、q的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，分x＜0和x＞0兩種情況求出f（x）的取值范圍，然后取并集即可；
（3）求出f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的取值范圍，然后根據(jù)題意，求出a的取值范圍即可．

解答： 解：（1）根據(jù)f（x）在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)，
可得f（-x）=-f（x），f（2）=5，
所以

px2+2 q-x =- px2+2 q+x 4p+2 q+2 =5

，
解得p=2，q=0，f（x）=2x+

2

x

；
（2）x＜0時(shí)，f（x）=2x+

2

x

=-[（-2x）+（-

2

x

）]≤-2

(-2x)(- 2 x )

=-4，
x＞0時(shí)，f（x）=2x+

2

x

≥4，
所以f（x）的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞）．
（3）x＞0時(shí)，2x=

2

x

，即x=1時(shí)，f（x）取最小值4，
f（

1

2

）=2×

1

2

+

2

1 2

=4，f（3）=2×3+

2

3

=6

2

3

，
所以f（x）在區(qū)間[

1

2

，3]上的取值范圍為[4，6

2

3

]；
根據(jù)方程f（x）=a在區(qū)間[

1

2

，3]上恒有兩個(gè)不同的實(shí)根，
所以a的取值范圍是[4，6

2

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性質(zhì)的運(yùn)用，考查了函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)值域的求法，屬于中檔題．