Question

已知函數(shù)，（為常數(shù)）．
（1）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若，，、使得成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)；
（3）當(dāng)時(shí)，若對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，都有
成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在點(diǎn)的切線方程，并將切線方程與函數(shù)的方程聯(lián)立，利用求出的值；（2）將題中問題轉(zhuǎn)化為從而確定最大整數(shù)的值；（3）假設(shè)，考查函數(shù)和的單調(diào)性，從而將，得到，于是得到，然后構(gòu)造函數(shù)
，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，于是得到在區(qū)間上恒成立，利用參變量分離法求出的取值范圍.
（1），，，
函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，
直線與函數(shù)的圖象相切，由，消去得，
則，解得或；
（2）當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
，，
則，
，故滿足條件的最大整數(shù)；
（3）不妨設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，
函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，且，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，
，
等價(jià)于，
即，
等價(jià)于在區(qū)間上是增函數(shù)，
等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，
等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，
，又，.