Question

設(shè)拋物線(xiàn)C的方程為x²=4y，M為直線(xiàn)l：y=-m（m＞0）上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-l）時(shí)，求過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷直線(xiàn)l與此圓的位置關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線(xiàn)l上是否存在點(diǎn)M，使MA⊥MB？若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)方程為y=kx-1，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，①
令△=（4k）²-4×4=0，解得k=±1，
代入方程①得x=±2，故得A（2，1），B（-2，1）．
因?yàn)镸到AB的中點(diǎn)（0，1）的距離為2，從而過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²+（y-1）²=4．
∵圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑為2，
∴圓與直線(xiàn)l：y=-1相切．…（6分）
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線(xiàn)l上的點(diǎn)為M（x₀，y₀），
過(guò)拋物線(xiàn)上點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線(xiàn)方程為y-y₁=k（x-x₁），因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/248989.png' />，k=，
從而過(guò)拋物線(xiàn)上點(diǎn)A（x₁，y₁）的切線(xiàn)方程為y-y₁=（x-x₁），
又切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)M（x₀，y₀），所以得y₀=x₀-，即．
同理可得過(guò)點(diǎn)B（x₂，y₂）的切線(xiàn)方程為，…（8分）
因?yàn)閗_MA=，k_MB=，且x₁，x₂是方程x²-2x₀x+4y₀=0的兩實(shí)根，
所以
所以k_MA•k_MB==y₀，
當(dāng)y₀=-1，即m=1時(shí)，直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)M均有MA⊥MB，…（10分）
當(dāng)y₀≠-1，即m≠1時(shí)，MA與MB不垂直．
綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)l上存在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)M，使MA⊥MB，當(dāng)m≠1時(shí)，直線(xiàn)l上不存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M．…（12分）
分析：（Ⅰ）設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線(xiàn)方程，代入x²=4y，整理得x²-4kx+4=0，令△=0，可得A，B的坐標(biāo)，利用M到AB的中點(diǎn)（0，1）的距離為2，可得過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的方程，從而可判斷圓與直線(xiàn)l：y=-1相切；
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直線(xiàn)l上的點(diǎn)為M（x₀，y₀），可得x₁，x₂是方程x²-2x₀x+4y₀=0的兩實(shí)根，從而k_MA•k_MB==y₀，由此可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，確定切線(xiàn)方程是關(guān)鍵．