【答案】
分析:(1)設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線方程,代入x
2=4y,整理得x
2-4kx+4=0,令△=0,可得A,B的坐標(biāo),利用M到AB的中點(diǎn)(0,1)的距離為2,可得過(guò)M,A,B三點(diǎn)的圓的方程,從而可判斷圓與直線l:y=-1相切;
(2)證法一:設(shè)切點(diǎn)分別為A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),過(guò)拋物線上點(diǎn)A(x
1,y
1)的切線方程為
,代入x
2=4y,消元,利用△=0,即可確定
,利用切線過(guò)點(diǎn)M(x
,y
),所以可得
,同理可得
,由此可得直線AB的方程,從而可得結(jié)論;
證法二:設(shè)過(guò)M(x
,y
)的拋物線的切線方程為
(k≠0),代入x
2=4y,消去y,利用韋達(dá)定理,確定直線AB的方程,從而可得結(jié)論;
證法三:利用導(dǎo)數(shù)法,確定切線的斜率,得切線方程,由此可得直線AB的方程,從而可得結(jié)論.
解答:(1)解:當(dāng)M的坐標(biāo)為(0,-1)時(shí),設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線方程為y=kx-1,代入x
2=4y,整理得x
2-4kx+4=0,
令△=(4k)
2-4×4=0,解得k=±1,
代入方程得x=±2,故得A(2,1),B(-2,1),…(2分)
因?yàn)镸到AB的中點(diǎn)(0,1)的距離為2,
從而過(guò)M,A,B三點(diǎn)的圓的方程為x
2+(y-1)
2=4.
∵圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為2,∴圓與直線l:y=-1相切…(4分)
(2)證法一:設(shè)切點(diǎn)分別為A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),過(guò)拋物線上點(diǎn)A(x
1,y
1)的切線方程為
,代入x
2=4y,整理得x
2-4kx+4(kx
1-y
1)=0△=(4k)
2-4×4(kx
1-y
1)=0,又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191433685029628/SYS201310241914336850296019_DA/6.png">,所以
…(6分)
從而過(guò)拋物線上點(diǎn)A(x
1,y
1)的切線方程為
即
又切線過(guò)點(diǎn)M(x
,y
),所以得
①即
…(8分)
同理可得過(guò)點(diǎn)B(x
2,y
2)的切線為
,
又切線過(guò)點(diǎn)M(x
,y
),所以得
②…(10分)
即
…(6分)
即點(diǎn)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)均滿足
即x
x=2(y
+y),故直線AB的方程為x
x=2(y
+y)…(12分)
又M(x
,y
)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點(diǎn),故x
x=2(y-m)對(duì)任意x
成立,所以x=0,y=m,從而直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,m)…(14分)
證法二:設(shè)過(guò)M(x
,y
)的拋物線的切線方程為
(k≠0),代入x
2=4y,消去y,得x
2-4kx-4(y
-kx
)=0△=(4k)
2+4×4(y
-kx
)=0即:k
2+x
k+y
=0…(6分)
從而
,
此時(shí)
,
所以切點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為
,
…(8分)
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024191433685029628/SYS201310241914336850296019_DA/23.png">,
,
,
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為
…(11分)
故直線AB的方程為
,即x
x=2(y
+y)…(12分)
又M(x
,y
)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點(diǎn),故x
x=2(y-m)對(duì)任意x
成立,所以x=0,y=m,從而直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,m)…(14分)
證法三:由已知得
,求導(dǎo)得
,切點(diǎn)分別為A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),故過(guò)點(diǎn)A(x
1,y
1)的切線斜率為
,從而切線方程為
即
…(7分)
又切線過(guò)點(diǎn)M(x
,y
),所以得
①即
…(8分)
同理可得過(guò)點(diǎn)B(x
2,y
2)的切線為
,
又切線過(guò)點(diǎn)M(x
,y
),所以得
②即
…(10分)
即點(diǎn)A(x
1,y
1),B(x
2,y
2)均滿足
即x
x=2(y
+y),故直線AB的方程為x
x=2(y
+y)…(12分)
又M(x
,y
)為直線l:y=-m(m>0)上任意一點(diǎn),故x
x=2(y-m)對(duì)任意x
成立,所以x=0,y=m,從而直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(0,m)…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓的方程,考查拋物線的切線,考查直線恒過(guò)定點(diǎn),確定切線方程,及直線AB的方程是關(guān)鍵.